АПРОКСИМАЦІЯ ВУЗЬКИХ ОПЕРАТОРІВ НА ПРОСТОРІ L1 ОПЕРАТОРАМИ З ОДНОВИМІРНИМ ОБРАЗОМ
DOI:
https://doi.org/10.31471/1993-9981-2024-1(52)-94-97Ключові слова:
простір Лебеґа, вузький оператор, компактний оператор, банахів простір.Анотація
Замітка присвячена вивченню апроксимаційних властивостей вузьких операторів, заданих на просторі Лебеґа L1, що діють у довільний банахів простір. Нова властивість, яку ми досліджуємо, полягає в тому, що вузький оператор на ``значній’’ частині області визначення є як завгодно близьким в розумінні операторної норми до оператора з одновимірним образом. ``Значна’’ частина – це підпростір, який є ізометрично ізоморфним до L1, і на якому оператор ``майже’’ досягає своєї норми. Це виглядає дещо несподіваним, адже серед вузьких операторів є ізоморфні вкладення, а на просторі Lp при p>1 кожний лінійний обмежений оператор подається у вигляді суми двох вузьких операторів. Доведення основного результату використовує лему Розенталя про множину векторів простору L1, на якоих лінійний обмежений оператор ``майже’’ досягає своєї норми, а також техніку базисів Шаудера. Наприкінці ми наводимо приклади різного типу вузьких операторів та їх відповідних апроксимацій. Серед них строго вузький оператор, а саме оператор умовного математичного сподівання по відношенню до під-ϭ-алгебри множин X˟[0,1], де X – довільна борелівська підмножина на [0,1], який апроксимується за допомогою свого звуження. Неявно сформульовано відкриту задачу про конструктивну апроксимацію деякого компактного оператора з нескінченновимірними образами, що зображається у вигляді степеневого ряду за степенями двійки та системи Радемахера на відрізку [0,1], та обчислення норми якого обчислювально складна задача.
Завантаження
Посилання
1. Plichko A., Popov M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces. Diss. Math. Rozprawy Mat. 1990. 306. P. 1-85.
2. Popov M. Narrow operators (a survey). Banach Center Publ. 2011. 92. P. 299-326.
3. Popov M., Randrianantoanina B. Narrow operators on function spaces and vector lattices. 2013. De Gruyter. Berlin-Boston.
4. Rosenthal H.P. Embeddings of L1 in L1. Contemp. Math. 1984. 26. P. 335-349.
5. Shvydkoy R.V. The largest linear space of operators satisfying the Daugavet equation in L1. Proc. Amer. Math. Soc. 2001. Vol. 130 (3). P. 773-777.
6. Mykhaylyuk V.V., Popov M.M. Some geometric aspects of operators acting from L1. Positivity. 2006. 10. p. 431-466.
7. Lindenstrauss J, Tzafriri L. Classical Banach spaces, Vol. 1, Sequence spaces. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. 1977.
.png)
